Question

4．如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，過點O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，過點O作OD⊥BC于D，下列四個結(jié)論：
①∠AOB=90°+$\frac{1}{2}$∠C；
②AE+BF=EF；
③當(dāng)∠C=90°時，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點；
④若OD=a，CE+CF=2b，則S_△CEF=ab．
其中正確的是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理判斷①；根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷③；關(guān)鍵角平分線的性質(zhì)判斷④．

解答 解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，
∴∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB
=180°-$\frac{1}{2}$∠CBA-$\frac{1}{2}$∠CAB
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠C）
=90°+$\frac{1}{2}$∠C，①正確；
∵EF∥AB，
∴∠FOB=∠ABO，又∠ABO=∠FBO，
∴∠FOB=∠FBO，
∴FO=FB，
同理EO=EA，
∴AE+BF=EF，②正確；
當(dāng)∠C=90°時，AE+BF=EF＜CF+CE，
∴E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，③錯誤；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，
∴點O在∠C的平分線上，
∴OD=OH，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$×CF×OD$+\frac{1}{2}$×CE×OH=ab，④正確．
故選：C．

點評 本題考查的是角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．