Question

已知二次函數(shù)y=ax²-2ax+b（a≠0）的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)B、C，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、B、C、A為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把B（3，0）代入y=-x+b得一次函數(shù)關(guān)系式，從而求出C點(diǎn)坐標(biāo)，把B（3，0），C（0，3）代入拋物線解析式可確定解析式；（2）依題意可求直線AC，BC的解析式，畫圖分析，梯形的平行邊只可能是：AP∥BC、BP∥AC，利用平行直線的解析式的關(guān)系設(shè)直線解析式，分別把已知點(diǎn)代入可求直線AP、BP的解析式，分別令x=0，可求P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把B（3，0）代入y=-x+b，
∴b=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
把B（3，0）代入y=ax²-2ax+3，
∴a=-1，（1分）
∴二次函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3．（2分）

（2）當(dāng)AP₁∥CB時(shí)，直線過點(diǎn)A（-1，0），
設(shè)AP₁所在直線解析式為y=-x+b，
把點(diǎn)A代入b=-1，
∴P₁點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-1）．（3分）
當(dāng)P₂B∥AC時(shí)，設(shè)AC所在直線為y=kx+b，
把點(diǎn)A（-1，0），C（0，3）代入得

k=3 b=3

，
∴AC所在直線為y=3x+3，
又∵P₂B過點(diǎn)B（3，0），設(shè)P₂B所在直線為y=kx+b，
∴P₂B所在直線為y=3x-9，
∴P₂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-9），（5分）
綜上所述存在這樣的點(diǎn)P使得以P、B、C、A為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，
點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-1），（0，-9）．（6分）

點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)求法及一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)解析式確定的方法，同時(shí)根據(jù)梯形性質(zhì)探求梯形第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，需要注意的是平行直線的解析式一次項(xiàng)系數(shù)相同，常數(shù)項(xiàng)不同．