Question

12．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=$\frac{4}{5}$，點(diǎn)P是邊BC上的一點(diǎn)，PE⊥AB，垂足為E，以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的圓與射線PE相交于點(diǎn)Q，線段CQ與邊AB交于點(diǎn)D．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)CP=x，△PCQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，聯(lián)結(jié)PF、QF，如果△PQF是以PF為腰的等腰三角形，求CP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）易證AD=AC，只需運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理求出AC即可；
（2）過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，如圖1，只需用x的代數(shù)式表示QH就可解決問題；
（3）由于△PQF是以PF為腰的等腰三角形，故需分PF=PQ和PF=FQ兩種情況討論，只需將等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)相結(jié)合，就可解決問題．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AB=5，sinA=$\frac{4}{5}$，
∴BC=AB•sinA=5×$\frac{4}{5}$=4，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
∵PC=PQ，∴∠PCQ=∠PQC．
∵PE⊥AB即∠QED=90°，
∴∠EQD+∠EDQ=90°．
∵∠ACD+∠PCQ=90°，
∴∠EDQ=∠ACD．
∵∠CDA=∠EDQ，
∴∠ACD=∠CDA，
∴AD=AC=3；

（2）過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，如圖1，
∵∠PBE+∠BPE=90°，∠PBE+∠A=90°，
∴∠BPE=∠A，
∴sin∠HPQ=sin∠A=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠HPQ=$\frac{QH}{PQ}$=$\frac{4}{5}$．
∵PQ=PC=x，∴QH=$\frac{4}{5}$x，
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•QH=$\frac{1}{2}$x•$\frac{4}{5}$x=$\frac{2}{5}$x²（$\frac{3}{2}$≤x＜4）；
（當(dāng)E、Q、D共線時(shí)，可得x最小值，根據(jù)$\frac{x}{4-x}$=$\frac{3}{5}$，解得x=$\frac{3}{2}$．）

（3）①當(dāng)PF=PQ時(shí)，則有PF=PQ=x=PC．
過點(diǎn)P作PG⊥CF于G，如圖2，
則CG=$\frac{1}{2}$CF．
∵CF⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∴CF=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴CG=$\frac{6}{5}$．
∵∠PCG=90°-∠FCA=∠A，
∴cos∠PCG=cos∠A=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠PCG=$\frac{CG}{PC}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=PC=$\frac{5}{3}$CG=$\frac{5}{3}$×$\frac{6}{5}$=2；
②當(dāng)PF=FQ時(shí)，
∵FE⊥PQ，
∴PE=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}$x，
∴cos∠BPE=$\frac{PE}{BP}$=$\frac{\frac{1}{2}x}{4-x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{24}{11}$．
綜上所述：當(dāng)△PQF是以PF為腰的等腰三角形，CP的長(zhǎng)為2或$\frac{24}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、同角或等角的余角相等、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵．