Question

3．如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的D處，再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)F處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則線段BF的長(zhǎng)為（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 首先根據(jù)折疊可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，進(jìn)而求得∠B′FD=90°，CE=EF=$\frac{12}{5}$，ED=AE=$\frac{9}{5}$，從而求得B′D=1，DF=$\frac{3}{5}$，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BF的長(zhǎng)．

解答 解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4-3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根據(jù)勾股定理求得AB=5，
∴CE=$\frac{12}{5}$，
∴EF=$\frac{12}{5}$，ED=AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}=\frac{9}{5}$，
∴DF=EF-ED=$\frac{3}{5}$，
∴B′F=$\sqrt{B'{D}^{2}-D{F}^{2}}=\frac{4}{5}$．
∴BF=B'F=$\frac{4}{5}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是本題的關(guān)鍵．