Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），過(guò)點(diǎn)C的直線y=x-3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PH⊥OB于點(diǎn)H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是______，b=______，c=______；
（2）求線段QH的長(zhǎng)（用含t的式子表示）；
（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于直線y=x-3過(guò)C點(diǎn)，因此C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），那么拋物線的解析式中c=-3，然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出b的值；
（2）求QH的長(zhǎng)，需知道OQ，OH的長(zhǎng)．根據(jù)CQ所在直線的解析式即可求出Q的坐標(biāo)，也就得出了OQ的長(zhǎng)，然后求OH的長(zhǎng)．
在（1）中可得出拋物線的解析式，那么可求出B的坐標(biāo)．在直角三角形BPH中，可根據(jù)BP=5t以及∠CBO的正弦值（可在直角三角形COB中求出）．得出BH的長(zhǎng)，根據(jù)OB的長(zhǎng)即可求出OH的長(zhǎng)．然后OH，OQ的差的絕對(duì)值就是QH的長(zhǎng)；
（3）本題要分①當(dāng)H在Q、B之間．②在H在O，Q之間兩種情況進(jìn)行討論；根據(jù)不同的對(duì)應(yīng)角得出的不同的對(duì)應(yīng)成比例線段來(lái)求出t的值．
解答：解：（1）（0，-3），b=-，c=-3；

（2）由（1），得y=x²-x-3，它與x軸交于A，B兩點(diǎn)，得B（4，0）．
∴OB=4，
又∵OC=3，
∴BC=5．
由題意，得△BHP∽△BOC，
∵OC：OB：BC=3：4：5，
∴HP：HB：BP=3：4：5，
∵PB=5t，∴HB=4t，HP=3t．
∴OH=OB-HB=4-4t．
由y=x-3與x軸交于點(diǎn)Q，得Q（4t，0）．
∴OQ=4t．
①當(dāng)H在Q、B之間時(shí)，QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t．
②當(dāng)H在O、Q之間時(shí)，QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4．
綜合①，②得QH=|4-8t|；

（3）存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似．
①當(dāng)H在Q、B之間時(shí)，QH=4-8t，
若△QHP∽△COQ，則QH：CO=HP：OQ，得=，
∴t=．
若△PHQ∽△COQ，則PH：CO=HQ：OQ，得=，
即t²+2t-1=0．
∴t₁=-1，t₂=--1（舍去）．
②當(dāng)H在O、Q之間時(shí)，QH=8t-4．
若△QHP∽△COQ，則QH：CO=HP：OQ，得=，
∴t=．
若△PHQ∽△COQ，則PH：CO=HQ：OQ，得=，
即t²-2t+1=0．
∴t₁=t₂=1（舍去）．
綜上所述，存在t的值，t₁=-1，t₂=，t₃=．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形相似等重要知識(shí)點(diǎn)，要注意的是（3）題要分Q的不同位置進(jìn)行分類討論，而在每種分類情況下又要根據(jù)不同的對(duì)應(yīng)相似三角形進(jìn)一步分類討論，不要漏解．