Question

如圖，在平面直角坐標中，點O為坐標原點，直線y=﹣x+4與x軸交于點A，過點A的拋物線y=ax2+bx與直線y=﹣x+4交于另一點B，且點B的橫坐標為1．

（1）求a，b的值；

（2）點P是線段AB上一動點（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OB交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，過點P作PF⊥MC于點F，設PF的長為t，MN的長為d，求d與t之間的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，當S△ACN=S△PMN時，連接ON，點Q在線段BP上，過點Q作QR∥MN交ON于點R，連接MQ、BR，當∠MQR﹣∠BRN=45°時，求點R的坐標．

 

Answer 1

（1）a=﹣1，b=4；

（2）d=3t+t=4t；

（3）R（，）．

【解析】

試題分析：（1）由已知可得出A，B點坐標，從而根據(jù)待定系數(shù)法得出a，b的值；

（2）由已知可得出AD=BD，從而∠BAD=∠ABD=45°，進而可得出tan∠BOD=tan∠MPF，故=3，MF=3PF=3t，即可得出d與t的函數(shù)關系；

（3）由S△ACN=S△PMN，則可得AC2=2t2，從而得出AC=2t，CN=2t，則M（4﹣2t，6t），求出t的值，進而得出△PMQ∽△NBR，求出R點坐標．

試題解析：（1）∵y=﹣x+4與x軸交于點A，

∴A（4，0），

∵點B的橫坐標為1，且直線y=﹣x+4經(jīng)過點B，

∴B（1，3），

∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，3），

∴，

解得：，

∴a=﹣1，b=4；

（2）如圖，作BD⊥x軸于點D，延長MP交x軸于點E，

∵B（1，3），A（4，0），

∴OD=1，BD=3，OA=4，

∴AD=3，

∴AD=BD，

∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，

∵MC⊥x軸，∴∠ANC=∠BAD=45°，

∴∠PNF=∠ANC=45°，

∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°，

∴NF=PF=t，

∵∠DFM=∠ECM=90°，∴PF∥EC，

∴∠MPF=∠MEC，

∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，

∴∠MPF=∠BOD，

∴tan∠BOD=tan∠MPF，

∴=3，

∴MF=3PF=3t，

∵MN=MF+FN，

∴d=3t+t=4t；

（3）如備用圖，由（2）知，PF=t，MN=4t，

∴S△PMN=MN×PF=×4t×t=2t2，

∵∠CAN=∠ANC，

∴CN=AC，

∴S△ACN=AC2，

∵S△ACN=S△PMN，

∴AC2=2t2，

∴AC=2t，∴CN=2t，

∴MC=MN+CN=6t，

∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，

∴M（4﹣2t，6t），

由（1）知拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x，

將M（4﹣2t，6t）代入y=﹣x2+4x得：

﹣（4﹣2t）2+4（4﹣2t）=6t，

解得：t1=0（舍），t2=，

∴PF=NF=，AC=CN=1，OC=3，MF=，PN=，PM=，AN=，

∵AB=3，

∴BN=2，

作NH⊥RQ于點H，

∵QR∥MN，

∴∠MNH=∠RHN=90°，

∠RQN=∠QNM=45°，∴∠MNH=∠NCO，

∴NH∥OC，

∴∠HNR=∠NOC，

∴tan∠HNR=tan∠NOC，

∴，

設RH=n，則HN=3n，

∴RN=n，QN=3n，

∴PQ=QN﹣PN=3n﹣，

∵ON=，

OB=，

∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，

∵PM∥OB，

∴∠OBN=∠MPB，

∴∠MPB=∠BNO，

∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，

∴∠BRN=∠MQP，

∴△PMQ∽△NBR，

∴，

∴，

解得：n=，

∴R的橫坐標為：3﹣，R的縱坐標為：1﹣=，

∴R（，）．

考點：1、待定系數(shù)法；2、二次函數(shù)；3、相似三角形的判定與性質(zhì)；4、勾股定理