Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（-1，0），B（-2，0），C（0，-2），直線x=m（m＜-2）與x軸交于點D．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在直線x=m（m＜-2）上有一點E（點E在第二象限），使得以E、B、D為頂點的三角形與以A、O、C為頂點的三角形相似，求E點坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請求出四邊形ABEF的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點A、B、C的坐標代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)點A、C的坐標求出OA、OC的長，表示出BE的長，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例分兩種情況求出DE的長度，然后寫出點E的坐標即可；
（3）求出AB，再根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等表示出點F的橫坐標，從而得到點F的坐標，然后代入二次函數(shù)解析式求出m的值，再根據(jù)m＜-2確定出m的值，然后求出點F的坐標，再利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-1，0），B（-2，0），C（0，-2），
∴

a-b+c=0 4a-2b+c=0 c=-2

，
解得

a=-1 b=-3 c=-2

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²-3x-2；

（2）∵A（-1，0），C（0，-2），
∴OA=1，OC=2，
∵直線x=m（m＜-2）與x軸交于點D，
∴BD=-2-m，
∵以E、B、D為頂點的三角形與以A、O、C為頂點的三角形相似，
∴

DE

OA

=

BD

OC

或

DE

OC

=

BD

OA

，
即

DE

1

=

-2-m

2

或

DE

2

=

-2-m

1

，
解得DE=-1-

1

2

m或DE=-4-4m，
∵點E在第二象限，
∴點E₁（m，-4-4m），E₂（m，-1-

1

2

m）；

（3）∵A（-1，0），B（-2，0），
∴AB=-1-（-2）=-1+2=1，
∵四邊形ABEF為平行四邊形，
∴EF=AB=1，
∴點F的橫坐標為m+1，
∴點F的坐標為（m+1，-4-2m），（m+1，-1-

1

2

m），
①若點F為（m+1，-4-2m），∵點F在拋物線y=-x²-3x-2上，
∴-（m+1）²-3（m+1）-2=-4-2m，
整理得，m²+3m+2=0，
解得m₁=-1，m₂=-2，
∵m＜2，
∴都不符合，
②若點F為（m+1，-1-

1

2

m），∵點F在拋物線y=-x²-3x-2上，
∴-（m+1）²-3（m+1）-2=-1-

1

2

m，
整理得，2m²+9m+10=0，
解得m₁=-

5

2

，m₂=-2，
∵m＜2，
∴m=-

5

2

，
此時，m+1=-

5

2

+1=-

3

2

，
-1-

1

2

m=-1-

1

2

×（-

5

2

）=

1

4

，
點F的坐標為（-

3

2

，

1

4

），
∴四邊形ABEF的面積為1×

1

4

=

1

4

，
故，拋物線上存在點F（-

3

2

，

1

4

），使四邊形ABEF的面積為

1

4

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，難點在于（2）要分情況討論，（3）要注意m＜-2的取值范圍．