Question

如圖甲，分別以兩個(gè)彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系（O、C、F三點(diǎn)在x軸正半軸上）.若⊙P過A、B、E三點(diǎn)(圓心在軸上)，拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為G，M是FG的中點(diǎn)，正方形CDEF的面積為1.

（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證：ME是⊙P的切線；

（3）設(shè)直線AC與拋物線對(duì)稱軸交于N，Q點(diǎn)是此對(duì)稱軸上不與N點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，①求△ACQ周長的最小值；②若FQ＝，△ACQ的面積 S_△ACQ＝，直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式.?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）（2，2），（2）證明過程見解析

（3）①②當(dāng)Q點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí)，S＝t+1 

當(dāng)Q點(diǎn)在線段FN上時(shí)，S＝1-t

當(dāng)Q點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí)，S＝t-1 

【解析】（1）如圖甲，連接PE、PB，設(shè)PC＝

∵正方形CDEF面積為1∴CD＝CF＝1

根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性知OP＝PC＝

∴BC＝2PC＝2………1分

而PB＝PE，

∴

解得n=1   (舍去)     …………… 2分

∴BC＝OC＝2  ∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）………3分

（2）如圖甲，由（1）知A（0，2），C（2，0）

∵A，C在拋物線上∴     ∴

∴拋物線的解析式為?

即…………………………………………………………… 4分

∴拋物線的對(duì)稱軸為,即EF所在直線

∵C與G關(guān)于直線對(duì)稱， ∴CF＝FG＝1  ∴FM＝FG＝

在Rt△PEF與Rt△EMF中

＝，  ∴=∴△PEF∽△EMF    …………5分

∴∠EPF＝∠FEM∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°

∴ME與⊙P相切……………………………………………………………………6分

（注：其他方法，參照給分）

（3）①如圖乙，延長AB交拋物線于，連交對(duì)稱軸x=3于Q，連AQ

則有AQ＝Q，△ACQ周長的最小值為（AC+C）的長……………………………7分

∵A與關(guān)于直線x=3對(duì)稱∴A（0，2），（6，2）

∴C＝，

而AC=…………………8分

∴△ACQ周長的最小值為

  ……………………………9分

②當(dāng)Q點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí)，S＝t+1  ……10分

當(dāng)Q點(diǎn)在線段FN上時(shí)，S＝1-t  ……11分

當(dāng)Q點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí)，S＝t-1   ……12分

（1）如圖甲，連接PE、PB，設(shè)PC=n，由正方形CDEF的面積為1，可得CD=CF=1，根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性知：OP=PC=n，由PB=PE，根據(jù)勾股定理即可求得n的值，繼而求得B的坐標(biāo)；

（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得拋物線的解析式，然后求得FM的長，則可得△PEF∽△EMF，則可證得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切線；

（3）①如圖乙，延長AB交拋物線于A′，連CA′交對(duì)稱軸x=3于Q，連AQ，則有AQ=A′Q，△ACQ周長的最小值為AC+A′C的長，利用勾股定理即可求得△ACQ周長的最小值；

②分別當(dāng)Q點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí)，當(dāng)Q點(diǎn)在線段FN上時(shí)，當(dāng)Q點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí)去分析即可求得答案．