Question

【題目】如圖1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以O(shè)B為一邊，在△OAB外作等邊三角形OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（3）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，

∴OA=OBcos30°=8× =4 ，

AB=OBsin30°=8× =4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4 ，4）；

（2）證明：∵∠OAB=90°，

∴AB⊥x軸，

∵y軸⊥x軸，

∴AB∥y軸，即AB∥CE，

∵∠AOB=30°，

∴∠OBA=60°，

∵DB=DO=4

∴DB=AB=4

∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠ADB=60°，

∵△OBC是等邊三角形，

∴∠OBC=60°，

∴∠ADB=∠OBC，

即AD∥BC，

∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（3）解：設(shè)OG的長(zhǎng)為x，

∵OC=OB=8，

∴CG=8﹣x，

由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8﹣x，

在Rt△AOG中，AG2=OG2+OA2，

即（8﹣x）2=x2+（4 ）2，

解得：x=1，

即OG=1．

【解析】（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，即可求得AB與OA的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可證得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等邊三角形，可得∠ADB=∠OBC，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可證得BC∥AE，繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形；（3）首先設(shè)OG的長(zhǎng)為x，由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8﹣x，然后根據(jù)勾股定理可得方程（8﹣x）2=x2+（4 ）2 ， 解此方程即可求得OG的長(zhǎng)．