Question

31、如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S₁、S₂、S₃，請你探索S₁、S₂、S₃之間的關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析：先過A作AE∥BC，交CD于E，由于AB∥CD，AE∥BC，易證四邊形ABCE是平行四邊形，從而有AE=BC，CE=AB，而DC=2AB，易得DE=AB，又由于AE∥BC，那么∠1=∠BCD，而∠ADC+∠BCD=90°，易得∠ADC+∠1=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠DAE=90°，利用勾股定理可得DE²=AD²+AE²，進而有AB²=AD²+BC²，那么S₂=S₁+S₃．

解答：解：S₁、S₂、S₃之間的關(guān)系是S₂=S₁+S₃．
過A作AE∥BC，交CD于E，
∵AB∥CD，AE∥BC，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴AE=BC，CE=AB，
∵DC=2AB，
∴DE=AB，
∵AE∥BC，
∴∠1=∠BCD，
又∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠ADC+∠1=90°，
∴∠DAE=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理，得DE²=AD²+AE²，
即AB²=AD²+BC²，
∴S₂=S₁+S₃．

點評：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理．解題的關(guān)鍵是作輔助線AE，構(gòu)造平行四邊形和直角三角形．