Question

13．如圖，在⊙0中，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，點P為弧AC上一點，且∠BPC=60°．若BP=6，PC=2．求線段AP的長度．

Answer 1

分析 由$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，得到AB=AC，推出△ABC是等邊三角形，得到△ABP∽△PQC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PC}{PB}=\frac{PQ}{AP}$，求得PQ=$\frac{1}{3}$AP，過A作AH∥PC，推出△AHP是等邊三角形，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{AH}{PC}=\frac{HQ}{PQ}$，即$\frac{AP}{PC}=\frac{AP-PQ}{PQ}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∵∠BPC=60°，
∴∠ACB=∠APB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵∠APB=∠QPC=60°，∠ABP=∠QCP，
∴△ABP∽△PQC，
∴$\frac{PC}{PB}=\frac{PQ}{AP}$，
∴PQ=$\frac{1}{3}$AP，
過A作AH∥PC，
∴∠AHP=∠HPC=60°，
∵∠APB=∠ACB=60°，
∴△AHP是等邊三角形，
∴AH=PH=AP，
∴$\frac{AH}{PC}=\frac{HQ}{PQ}$，即$\frac{AP}{PC}=\frac{AP-PQ}{PQ}$，
∴$\frac{AP}{2}=\frac{AP-\frac{1}{3}AP}{\frac{1}{3}AP}$，
∴AP=4．

點評 本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)及判定定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形．