Question

5．（1）探究：已知，如圖是一個(gè)三角形點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有一個(gè)點(diǎn)，第二行有兩個(gè)點(diǎn)…第n行有n個(gè)點(diǎn)…容易發(fā)現(xiàn)，10是三角形點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)和．
①求三角形點(diǎn)陣中前10行的點(diǎn)數(shù)和；
②若三角形點(diǎn)陣中前a行的點(diǎn)數(shù)之和為300，求a的值；
③三角形點(diǎn)陣中前b行的點(diǎn)數(shù)之和能是600嗎？若能，求出b的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）拓展：若果把（1）的三角形點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換為2，4，6，…，2n，…，
①求這個(gè)三角形點(diǎn)陣中前n行點(diǎn)數(shù)和（用含n的代數(shù)式表示）；
②這個(gè)三角形點(diǎn)陣中前n行點(diǎn)數(shù)和能是600嗎？若能，求出n；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①由于第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)…第n行有n個(gè)點(diǎn)…，則前10行共有（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）個(gè)點(diǎn)；
②前a行共有（1+2+3+4+5+…+a）個(gè)點(diǎn)，然后求它們的和，前a行共有$\frac{a（a+1）}{2}$個(gè)點(diǎn)，則$\frac{a（a+1）}{2}$=300，然后解方程得到a的值；
③由（1）得b（b+1）=600×2，求b的值即可；
（2）①根據(jù)2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×$\frac{n（n+1）}{2}$，求n的值即可進(jìn)而得出即可；
②由①得n（n+1）=600，求n的值即可．

解答 解：（1）①三角形點(diǎn)陣中前10行的點(diǎn)數(shù)和為：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55；
②由題意可得：1+2+3+4+5+…+a=300，即$\frac{a（a+1）}{2}$=300，
整理得a²+a-600=0，
（n+25）（n-24）=0，
∴a₁=-25，a₂=24，
∵a為正整數(shù)，
∴a=24；
③三角點(diǎn)陣中前b行的點(diǎn)數(shù)的和不能是600．理由如下：
依題意，得b（b+1）=600×2，
即b²+b-1200=0，
△=$\sqrt{{1}^{2}-4×1×（-1200）}$=$\sqrt{4801}$，無(wú)法開平方得出整數(shù)，
故三角點(diǎn)陣中前b行的點(diǎn)數(shù)的和不能是600；

（2）①這個(gè)三角形點(diǎn)陣中前n行點(diǎn)數(shù)和為：2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）；
②三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能是600．理由如下：
依題意，得n（n+1）=600，
即n²+n-600=0，
△=$\sqrt{{1}^{2}-4×1×（-600）}$=$\sqrt{2401}$=49，開平方得出整數(shù)，
故三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能是600．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型：圖形的變化，本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．