Question

16．如圖，已知二次函數(shù)y=（x+1）（x-3）交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)C（-3，0）．
（1）若直線l上有唯一的點(diǎn)D，使得∠ADB=90°，求直線l的解析式；
（2）拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得∠AEB=90°？如果存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）過AB的中點(diǎn)E作⊙E，若直線l與⊙E相切時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)即為D，這時(shí)直線l上只有一個(gè)點(diǎn)能使∠ADB=90°，利用勾股定理即可求出D的坐標(biāo)，由于圓具有對稱性，所以直線l有兩種情況；
（2）⊙M與拋物線相交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3），利用相似三角形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）過AB的中點(diǎn)M作⊙M，
過點(diǎn)C作直線l與⊙O相切，切點(diǎn)為D，
令y=0代入y=（x+1）（x-3），
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴點(diǎn)M（1，0），AB=4，
過點(diǎn)D作DO′⊥x軸，
∵CM=4，DM=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴sin∠DCM=$\frac{DM}{CM}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠DCM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠DCM=30°，
∴由勾股定理可求得：CD=2$\sqrt{3}$，
∴DO′=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$
∴$\frac{DO′}{CO′}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CO′=3，
即O′與O重合，
∴D（0，$\sqrt{3}$），
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
把（0，$\sqrt{3}$）和（-3，0）代入y=kx+b，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
由于圓具有對稱性，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)也可以是（0，-$\sqrt{3}$），
同理可求得的直線l的解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；
綜上所述，直線l的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；

（2）設(shè)⊙M與拋物線交于點(diǎn)E，
過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，
∴由圓周角定理可知：∠AEB=90°，
∵∠AEF+∠FAE=∠FAE+∠ABE=90°，
∴∠AEF=∠ABE，
∴△AEF∽△ABE，
∴EF²=AF•BF，
設(shè)E（m，m²-2m-3），
∴EF=-（m²-2m-3），AF=m+1，BF=3-m，
∴[（m+1）（m-3）]²=（m+1）（3-m），
∴（m+1）（m-3）=-1，
∴m=1±$\sqrt{2}$，
∴E（1±$\sqrt{2}$，-1），

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合問題，涉及圓周角定理，相似三角形的判定，勾股定理等知識，綜合程度較高．