Question

11．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+\frac{5}{2}$與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）直接寫(xiě)A、B、C的坐標(biāo)．
（2）矩形OADE的頂點(diǎn)D在直線BC上，將矩形OADE繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后．
①判斷D點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′是否在直線BC上，并證明你的結(jié)論；
②若M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得BC的解析式，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得D′點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)D′的坐標(biāo)是否滿(mǎn)足函數(shù)解析式，可得答案；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定：對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得N點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+\frac{5}{2}$=0，
解得x₁=-1，x₂=5，即A（-1，0），B（5，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{5}{2}$，即C（0，$\frac{5}{2}$）；
（2）①如圖1：

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B，C點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=3，即D（-1，3），
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得
A′D′=AD=3，D′E′=DE=1，
即D′（3，1）．
當(dāng)x=3時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$×3+$\frac{5}{2}$=1，
點(diǎn)D′在直線BC上；
②如圖2：
，
M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上存在一點(diǎn)N，
設(shè)M（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），N（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$），
由ADNM是平行四邊形，得
MN=AD=3．
即-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$-（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$）=3①或-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$-（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$）=-3②．
化簡(jiǎn)①，得m²-5m+6=0，
解得m₁=2，m₂=3，
當(dāng)m₁=2時(shí)，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，即N₁（2，$\frac{9}{2}$），
當(dāng)m₂=3時(shí)，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$=4，即N₂（3，4）；
化簡(jiǎn)②，得m²-5m-6=0，解得m₁=6，m₂=-1，
當(dāng)m₁=6時(shí)，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$=-$\frac{7}{2}$，即N₃（6，-$\frac{7}{2}$），
當(dāng)m₂=-1時(shí)，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$=0，即N₄（-1，0）（不符合題意的解要舍去）；
綜上所述，以A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，N點(diǎn)的坐標(biāo)N₁（2，$\frac{9}{2}$），N₂（3，4），N₃（6，-$\frac{7}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系求圖象與坐標(biāo)軸的焦點(diǎn)坐標(biāo)；利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出D′點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．