Question

【題目】在Rt△ABC，∠C=90°，D為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在BC、AC邊上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于點(diǎn)F，NE⊥AB于點(diǎn)E．

（1）特殊驗(yàn)證：如圖1，若AC=BC，且D為AB中點(diǎn)，求證：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如圖2，若D為AB中點(diǎn)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論有一個(gè)仍成立，請(qǐng)指出并加以證明；
②如圖3，若BD=kAD，條件中“點(diǎn)M在BC邊上”改為“點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上”，其它條件不變，請(qǐng)?zhí)骄緼E與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：若AC=BC，則△ABC為等腰直角三角形，

如答圖1所示，連接CD，則CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．

在△AND與△CMD中，

∴△AND≌△CMD（ASA），

∴DN=DM．

∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，

∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，

在△NED與△DFM中，

∴△NED≌△DFM（ASA），

∴NE=DF．

∵△ANE為等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF

（2）①答：AE=DF．

證法一：由（1）證明可知：△DEN∽△MFD

∴ ，即MFEN=DEDF．

同理△AEN∽△MFB，

∴ ，即MFEN=AEBF．

∴DEDF=AEBF，

∴（AD﹣AE）DF=AE（BD﹣DF），

∴ADDF=AEBD，∴AE=DF．

證法二：如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P，DQ⊥AC于點(diǎn)Q．

∵D為AB中點(diǎn)，

∴DQ=PC=PB．

易證△DMF∽△NDE，∴ ，

易證△DMP∽△DNQ，∴ ，

∴ ；

易證△AEN∽△DPB，∴ ，

∴ ，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．

證法一：由①同理可得：DEDF=AEBF，

∴（AE﹣AD）DF=AE（DF﹣BD）

∴ADDF=AEBD

∵BD=kAD

∴DF=kAE．

證法二：如答圖3，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P，DQ⊥AC于點(diǎn)Q．

易證△AQD∽△DPB，得 ，即PB=kDQ．

由①同理可得： ，

∴ ；

又∵ ，

∴ ，

∴DF=kAE

【解析】（1）連接CD，首先證明△AND≌△CMD，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到DN=DM，然后再證明△NED≌△DFM，從而可得到DF=NE，然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到AE=NE=DF；
（2）①若D為AB中點(diǎn)，則△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，接下來(lái)，由線段比例關(guān)系可以證明AE=DF結(jié)論依然成立；②若BD=kAD，證明思路與①類似.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．