Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A 的坐標是(4,0)，并且0A=OC=4OB,動點P在過A,B，C三點的拋物線上.

(1) 求拋物線的解析式;

(2)過動點P作PE垂直于y軸于點E,交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F,連接EF,當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標;

(3) 是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有符合條件的點P的坐標; 若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+3x+4;(2)P（，2）或（，2）;(3)存在，P的坐標是（2，6）或（-2，-6），理由見解析

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得點ABC三點的坐標，設(shè)拋物線的解析式為，將三點坐標代入所設(shè)解析式列出方程組，解方程組即可；

（2）如圖1，連接OD，易證四邊形OFDE是矩形，由此可得EF=OD，所以當OD最短時，EF最短，即當OD⊥AC時，EF最短，結(jié)合OA=OC可知此時點D是AC中點，從而可得點D的縱坐標，結(jié)合DF∥OC可得點P的縱坐標，代入拋物線解析式即可求得點P的橫坐標，從而可得點P的坐標；

（3）如圖2，根據(jù)題意分別過點A、C作AC的垂線與拋物線相交于點P，再分別過所得點P向y軸作垂線交y軸于一點，結(jié)合已知條件即可求出對應(yīng)的點P的坐標了.

試題解析：

（1）∵點A的坐標為：（4，0），

∴OA=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），B（-1，0）

設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，

則，解得：，

∴拋物線的解析式是：y=-x2+3x+4；

（2）如圖1，連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，

則OD=EF．根據(jù)垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．

∵OA=OC，點OD⊥AC，

∴D是AC的中點．

又∵DF∥OC，

∴DF=OC=2，

∴點P的縱坐標是2．則-x2+3x+4=2，解得：x=，

∴當EF最短時，點P的坐標是：（，2）或（，2）．

（3）存在，如圖2，

第一種情況，當以C為直角頂點時，過點C作CP1⊥AC，交拋物線于點P1．過點P1作y軸的垂線，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，

∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，

設(shè)P（m，-m2+3m+4），則m=-m2+3m+4-4，解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴-m2+3m+4=6，

即P（2，6）；

第二種情況，當點A為直角頂點時，過A作AP2，AC交拋物線于點P2，過點P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F．

∴P2N∥x軸，由∠CAO=45°，

∴∠OAP=45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

設(shè)P2（n，-n2+3n+4），則n=（-n2+3n+4）+4，解得：n1=-2，n2=4（舍去），

∴-n2+3n+4=-6，則P2的坐標是（-2，-6）．

綜上所述，P的坐標是（2，6）或（-2，-6）；