Question

2．已知拋物線y=ax²+c的頂點為P，它與直線y=x+1交于兩點A（1，m），B（n，-1），與x軸交于C、D兩點，試求拋物線的表達式及△PCD的面積．

Answer 1

分析 先根據一次函數圖象上點的坐標特征求出m、n的值，則可確定A（1，2），B（-2，-1），再把A點B點坐標代入y=ax²+c得到$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2}\\{4a+c=-1}\end{array}\right.$，解方程組得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，于是得到拋物線的解析式為y=-x²+3，則可寫出P點坐標為（0，3），然后根據拋物線與x軸的交點問題求出C、D的坐標，再根據三角形面積公式求解．

解答 解：∵直線y=x+1過點A（1，m），B（n，-1），
∴m=1+1，n+1=-1，解得m=2，n=-2，
∴A（1，2），B（-2，-1），
∵拋物線y=ax²+c過點A（1，2），B（-2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2}\\{4a+c=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+3，
∴頂點P的坐標為（0，3），
當y=0時，-x²+3=0，解得x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，
∴C（-$\sqrt{3}$，0），D（$\sqrt{3}$，0），
∴△PCD的面積=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$）×3=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．