Question

對于每個非零自然數n，拋物線y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n、B_n兩點，以A_nB_n表示這兩點間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉的值是

 

．

Answer 1

分析：先化簡拋物線y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

，然后求出一元二次方程的根，根據兩點間的坐標差求出距離，找出規(guī)律解答即可．

解答：解：y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）
故拋物線與x軸交點坐標為（

1

n

，0）和（

1

n+1

，0）
由題意，AnBn=

1

n

-

1

n+1

那么，A₁B₁+A₂B₂…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2009

-

1

2010

）
=1-

1

2010

=

2009

2010

．

點評：（1）本題考查的是二次函數與一元二次方程，在解答過程中，注意二次函數與一元二次方程之間的聯系，并從中擇取有用信息解題；
（2）求兩點間的距離時，要利用兩點間的坐標差來解答．