Question

1．如圖，在四邊形ABCD中，AC=AD，∠CAD=α，在CB邊上取一點(diǎn)E，使∠DEB與∠DAC互補(bǔ)，探究線(xiàn)段AE、DE、CE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 截取DF=CE，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥DE于H，如圖，利用等角的補(bǔ)角相等得到∠DAC=∠DEC，再利用三角形內(nèi)角和可得∠3=∠4，則利用“SAS”可判斷△ADF≌△ACE，所以∠DAF=∠CAE，AF=AE，則∠DAC=∠FAE=α，接著根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得FH=EH，∠HAE=$\frac{1}{2}$∠FAE=$\frac{1}{2}$α，然后利用正弦的定義有HE=AE•sin$\frac{1}{2}$α，則EF=2HE=2AE•sin$\frac{1}{2}$α，于是得到DE=DF+EF=CE+2AE•sin$\frac{1}{2}$α．

解答 解：截取DF=CE，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥DE于H，如圖，
∵∠DEB+∠DAC=180°，
而∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DAC=∠DEC，
而∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
在△ADF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{∠3=∠4}\\{DF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ACE，
∴∠DAF=∠CAE，AF=AE，
∴∠DAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE，
即∠DAC=∠FAE=α，
∵AH⊥EF，AF=AE，
∴FH=EH，∠HAE=$\frac{1}{2}$∠FAE=$\frac{1}{2}$α，
在Rt△AEH中，∵sin∠EAH=$\frac{HE}{AE}$，
∴HE=AE•sin$\frac{1}{2}$α，
∴EF=2HE=2AE•sin$\frac{1}{2}$α，
∵DE=DF+EF，
∴DE=CE+2AE•sin$\frac{1}{2}$α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形．解決本題的關(guān)鍵是在DE上截取DF=CE．