Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=3，CF=1，P是斜邊AC上的一個動點，則△PEF周長的最小值為______．

Answer 1

如圖，作點B關于AC的對稱點D，連接AD，CD，則AC垂直平分BD，
又∵AB=BC，
∴BD平分AC，且AC=BD，
∴四邊形ABCD是正方形．
取AD的中點E′，連接E′F，與AC交于點P．
∵E，E′關于AC對稱，
∴PE=PE′，
此時PF+PE=PF+PE′=E′F，值最小．
過點F作FG⊥AD于G．
在Rt△E′FG中，∠E′GF=90°，F(xiàn)G=AB=6，GE′=3-1=2，
∴E′F=

FG2+GE′2

=

62+22

=2

10

，
∵EF=

BE2+BF2

=

32+52

=

34

，
∴△PEF周長的最小值=EF+E'F=

34

+2

10

．
故答案為

34

+2

10

．