Question

10．如圖，在△ABC中，O是AC上一動點（不與點A、C重合），過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）OE與OF相等嗎？證明你的結(jié)論；
（2）試確定點O的位置，使四邊形AECF是矩形，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，然后求出∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，再根據(jù)等角對等邊可得OE=OC，同理可得OF=OC，從而得到OE=OF；
（2）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，由AO=CO，OE=OF可得四邊形AECF是平行四邊形，然后再證明∠ECF=90°可得四邊形AECF是矩形．

解答 解：（1）OE=OF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，
∴∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECA+∠ACF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

點評 此題主要考查了矩形的判定，以及等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等角對等邊；有一個角為直角的平行四邊形是矩形．