Question

已知：如圖⊙O是△ABC的外接圓，P為圓外一點(diǎn)，PA∥BC，且A為劣弧

BC

的中點(diǎn)，割線PBD過(guò)圓心，交⊙0于另一點(diǎn)D，連結(jié)CD．
（1）試判斷直線PA與⊙0的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)AB=13，BC=24時(shí)，求⊙O的半徑及CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OA，設(shè)OA交BC于G．由

AB

=

AC

，OA過(guò)圓心O，得出OA⊥BC，再由PA∥BC，則OA⊥PA，則PA是⊙O的切線；
（2）由（1）得BG=

1

2

BC，根據(jù)勾股定理得出AG，設(shè)⊙O的半徑為R，則OG=R-5．再由勾股定理求得OG．因?yàn)锽D是⊙O的直徑，則DC⊥BC，從而得出OG是△BCD的中位線．即可得出DC．

解答：解：（1）直線PA是⊙O的切線．理由如下：
連接OA，設(shè)OA交BC于G．
∵

AB

=

AC

，OA過(guò)圓心O，
∴OA⊥BC．
∵PA∥BC，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切線；

（2）∵

AB

=

AC

，
∴AB=AC，
∵OA⊥BC，
∴BG=

1

2

BC=12．
∵AB=13，
∴AG=

132-122

=5．
設(shè)⊙O的半徑為R，則OG=R-5．
在Rt△OBG中，∵OB²=BG²+OG²，
∴R²=12²+（R-5）²，
解得，R=16.9，
∴OG=11.9．
∵BD是⊙O的直徑，
∴DC⊥BC，又OG⊥BC，
∴OG∥DC，又O是BD中點(diǎn)，
∴OG是△BCD的中位線．
∴CD=2OG=23.8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了垂徑定理的推論，勾股定理以及三角形的中位線定理．