Question

已知：如圖五，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F

分別在BC、CD上，且AE＝AF，∠AEC＝∠AFC．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）如圖六，若AD＝AF，延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)

G，求證：AF²＝AG·DF．

（3）在第（2）小題的條件下，連接BD，交AG

于點(diǎn)H，若HE＝4，EG＝12，求AH的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠B＝∠D．…………………（1分）

∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC+∠AEB＝∠AFC+∠AFD=

∴∠AEB＝∠AFD．…………（1分）

在△AEB和△AFD中：

  ∠B＝∠D

  ∠AEB＝∠AFD

  AE＝AF

∴△AEB≌△AFD，………………（1分）

∴AB＝AD，

∴平行四邊形ABCD是菱形．………………（1分）

（2）∵△AEB≌△AFD，∴∠BAE＝∠DAF．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DG, ∴∠BAE＝∠G，

∴∠G＝∠DAF．

又∵∠ADF＝∠GDA，∴△GAD∽△AFD………………（2分）

∴DA︰DF＝DG︰DA，∴DA²＝DG·DF……………（1分）

∵DG︰DA＝AG︰FA，且AD＝AF，∴DG＝AG．

又∵AD＝AF，∴AF²＝AG·DF．……………………（1分）

（3）在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，

∴AH︰HG＝BH︰HD，………………（1分）

BH︰HD＝EH︰AH，………………（1分）

∴AH︰HG＝EH︰AH．………………（1分）

∵HE＝4，EG＝12，

∴AH︰16＝4︰AH，∴AH＝8．………………（1分）