Question

已知方程x²+ax-b=0的根是a和c，方程x²+cx+d=0的根是b和d．其中，a、b、c、d為不同實數(shù)，求a、b、c、d的值．

Answer 1

解：∵方程x²+ax-b=0的根是a和c，
∴a+c=-a，ac=-b，
∵x²+cx+d=0的根是b和d，
∴b+d=-c，bd=d，
（一）若d≠0，則由bd=d知b=1，
由a+c=-a知c=-2a，由ac=-b知-2a²=-1，解得a=±
當a=時，c=-得d=-c-b=-1；（1）
當a=-時c=，得d=-c-b=--1．（2）
經(jīng)驗證，a=，b=1，c=±，d=-1是符合條件的兩組解．
（二）若d=0，則b=-c，由a+c=-a知c=-2a，由ac=-b知ac=c
若c=0，則a=0，這與a、b、c、d是不同的實數(shù)矛盾．
若c≠0，則a=1，再由c=-2a知c=-2，從而b=-c=2
經(jīng)驗證，a=1，b=2，c=-2，d=0也是符合條件的解．
分析：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a、b、c、d之間的4個關(guān)系式，分d=0和d≠0兩種情況討論，解4元1次方程組即可．
點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及解方程組的有關(guān)知識，考查了學生的運算能力．