Question

（2013•惠安縣質(zhì)檢）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=8，OC=4．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P在線段OA上沿OA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段CO上沿CO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：OP=

2t

，OQ=

4-t

；（用含t的式子表示）
（2）試證明：四邊形OPBQ的面積是一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值；
（3）當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，拋物線y=

1

3

x2+bx+c經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，過線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)N，交線段CB于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)H，連結(jié)PG，BH，試探究：當(dāng)線段MN的長(zhǎng)取最大值時(shí)，判定四邊形GPHB的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的速度即可求解；
（2）根據(jù)S_{四邊形OPBQ}=S_{四邊形OABC}-S_△PAB-S_△CBQ，分別利用t表示出S_{四邊形OABC}，S_△PAB，S_△CBQ，即可求解；
（3）易證：△OPQ～△ABP，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得t的值，則P的坐標(biāo)可以求得，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式，則MN的長(zhǎng)度可以利用t表示出來(lái)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）填空：OP=2t，OQ=4-t  　    …（2分）
（2）根據(jù)題意，易知：AB=4，PA=（8-2t），BC=8，CQ=t
∴S_{四邊形OPBQ}=S_{四邊形OABC}-S_△PAB-S_△CBQ…（3分）
=4×8-

1

2

AB×PA-

1

2

BC×CQ
=32-

1

2

×4×（8-2t）-

1

2

×8×t
=32-16+4t-4t=16
∴四邊形OPBQ的面積是一個(gè)定值，這個(gè)定值是16…（5分）
（3）當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，
易證：△OPQ～△ABP…（6分）
∴

OP

AB

=

OQ

AP

（7分）
∴

2t

4

=

4-t

8-2t

解得：t=1  或t=4（不合，舍去）
∴t=1
∴OP=2，即點(diǎn)P（2，0）…（8分）
又點(diǎn)B（8，4）、點(diǎn)P（2，0）在拋物線y=

1

3

x2+bx+c上，
可求得：b=-

8

3

，c=4
∴此時(shí)拋物線的解析式為y=

1

3

x2-

8

3

x+4…（9分）
由點(diǎn)P（2，0），點(diǎn)B（8，4）可求得直線PB的解析式為y=

2

3

x-

4

3

…（10分）
則根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M（x，

2

3

x-

4

3

），點(diǎn) N（x，

1

3

x2-

8

3

x+4）…（11分）
∴MN=

2

3

x-

4

3

-（

1

3

x2-

8

3

x+4）
=-

1

3

(x-5)2+3
∴當(dāng)x=5時(shí)，MN最大值為3…（12分）
此時(shí)PG=OG-OP=5-2=3，BH=CB-CH=8-5=3
∴PG與BH平行且相等
∴四邊形GPHB是平行四邊形．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)以及平行四邊形的判定，正確求得MN的長(zhǎng)是關(guān)鍵．