Question

（2005•哈爾濱）已知：平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在直線(xiàn)AD上截取AF=2FD，EF交AC于G，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：由平行四邊形的性質(zhì)易證兩三角形相似，但是由于點(diǎn)F的位置未定，需分類(lèi)討論．分兩種情況：（1）點(diǎn)F在線(xiàn)段AD上時(shí)；（2）點(diǎn)F在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)．
解答：解：（1）點(diǎn)F在線(xiàn)段AD上時(shí)，設(shè)EF與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于H，
∵AB∥CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，
即HD=AE
∵AB∥CD，
∴△CHG∽△AEG，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；

（2）點(diǎn)F在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)EF與CD交于H，
∵AB∥CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，
即HD=AE，
∵AB∥CD，
∴△CHG∽△AEG，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，
∴AG：CG=2：3，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
答案：填或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想；其中由相似三角形的性質(zhì)得出比例式是解題關(guān)鍵．注意：求相似比不僅要認(rèn)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后次序．