Question

已知拋物線y=x²+2px+2p-2的頂點為M，
（1）求證拋物線與x軸必有兩個不同交點；
（2）設(shè)拋物線與x軸的交點分別為A，B，求實數(shù)p的值使△ABM面積達(dá)到最�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）先判斷出△的符號即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），利用兩點間的距離公式即可得出|AB|的表達(dá)式，設(shè)頂點M（a，b），再把原式化為頂點式的形式，即可得到b=-（p-1）²-1，根據(jù)二次函數(shù)的最值及三角形的面積公式即可解答．
解答：解：（1）∵△=4p²-8p+8=4（p-1）²+4＞0，
∴拋物線與x軸必有兩個不同交點．

（2）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
則|AB|²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4p²-8p+8=4（p-1）²+4，
∴|AB|=2．
又設(shè)頂點M（a，b），由y=（x+p）²-（p-1）²-1．
得b=-（p-1）²-1．
當(dāng)p=1時，|b|及|AB|均取最小，此時S_△ABM=|AB||b|取最小值1．
點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，涉及到的知識點為：根的判別式、兩點間的距離公式、二次函數(shù)的頂點式及三角形的面積，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．