Question

如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（﹣，3），拋物線y=ax²+b（a≠0）經過AB、CD兩邊的中點．

（1）求這條拋物線的函數解析式；

（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜）

①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

②連接FC，以點F為旋轉中心，將△FEC按順時針方向旋轉180°，得△FE′C′，當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

　

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）根據已知條件求出AB和CD的中點坐標，然后利用待定系數法求該二次函數的解析式；

（2）本問是難點所在，需要認真全面地分析解答：

①如圖2所示，△ADF與△DEF相似，包括三種情況，需要分類討論：

（I）若∠ADF=90°時，△ADF∽△DEF，求此時t的值；

（II）若∠DFA=90°時，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的對應邊成比例可以求得相應的t的值；

（III）∠DAF≠90°，此時t不存在；

②如圖3所示，畫出旋轉后的圖形，認真分析滿足題意要求時，需要具備什么樣的限制條件，然后根據限制條件列出不等式，求出t的取值范圍．確定限制條件是解題的關鍵．

【解答】解：（1）由題意得AB的中點坐標為（﹣，0），CD的中點坐標為（0，3），

分別代入y=ax²+b得

，

解得，，

∴y=﹣x²+3．                                      

 

（2）①如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2

∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°

∴EC=BC=，DE=

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°

∴∠ADC=180°﹣60°=120°

要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個角為直角．

（I）若∠ADF=90°

∠EDF=120°﹣90°=30°

在Rt△DEF中，DE=，求得EF=1，DF=2．

又∵E（t，3），F（t，﹣t²+3），∴EF=3﹣（﹣t²+3）=t²

∴t²=1，∵t＞0，∴t=1                                     

此時=2，，

∴，

又∵∠ADF=∠DEF

∴△ADF∽△DEF                                 

（II）若∠DFA=90°，

可證得△DEF∽△FBA，則

設EF=m，則FB=3﹣m

∴，即m²﹣3m+6=0，此方程無實數根．

∴此時t不存在；                                       

（III）由題意得，∠DAF＜∠DAB=60°

∴∠DAF≠90°，此時t不存在．                             

綜上所述，存在t=1，使△ADF與△DEF相似；

②如圖3所示，依題意作出旋轉后的三角形△FE′C′，過C′作MN⊥x軸，分別交拋物線、x軸于點M、點N．

觀察圖形可知，欲使△FE′C′落在指定區(qū)域內，必須滿足：EE′≤BE且MN≥C′N．

∵F（t，3﹣t²），∴EF=3﹣（3﹣t²）=t²，∴EE′=2EF=2t²，

由EE′≤BE，得2t²≤3，解得t≤．

∵C′E′=CE=，∴C′點的橫坐標為t﹣，

∴MN=3﹣（t﹣）²，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t²，

由MN≥C′N，得3﹣（t﹣）²≥3﹣2t²，解得t≥或t≤﹣﹣3（舍）．

∴t的取值范圍為：．

【點評】本題是動線型中考壓軸題，綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、幾何變換（平移與旋轉）、菱形的性質、相似三角形的判定與性質等重要知識點，難度較大，對考生能力要求很高．本題難點在于第（2）問，（2）①中，需要結合△ADF與△DEF相似的三種情況，分別進行討論，避免漏解；（2）②中，確定“限制條件”是解題關鍵．