Question

如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④∠GAE=45°；⑤S_△FGC=3.6．
則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,正方形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)易得AD=CD=BC=6，則由CD=3DE得到CD=2，DE=4，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AF=AD=6，ED=EF=2，∠AFE=∠D=90°，則可根據(jù)“HL”證明Rt△ABG≌Rt△AFG；根據(jù)全等的性質(zhì)得BG=FG，設(shè)BG=x，則GF=x，CG=6-x，在Rt△CGE中，利用勾股定理得到x²+4²=（x+2）²，解得x=3，則BG=CG=3；由GF=CG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠GFC=∠GCF，利用三角形外角性質(zhì)得∠BGF=2∠GCF，又由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠BGA=∠FGA，易得∠BGA=∠GCF，于是根據(jù)平行線的判定得到AG∥CF；由△ADE沿AE對(duì)折至△AFE得∠DAE=∠FAE，由Rt△ABG≌Rt△AFG得∠BAG=∠FAG，所以∠EAF+∠GAF=

1

2

（∠DAF+∠BAF）=45°，即∠GAE=45°；作FH⊥GC于H，如圖，易證得△GFH∽△GEC，利用相似比計(jì)算出FH=

12

5

，然后根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出S_△GCF=3.6．

解答：解：∵正方形ABCD中，AB=6，
∴AD=CD=BC=6，
∵CD=3DE，
∴CD=2，DE=4，
∵△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，
∴AF=AD=6，ED=EF=2，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中

AB=AF AG=AG

，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），所以①正確；
∴BG=FG，
設(shè)BG=x，則GF=x，CG=6-x，
在Rt△CGE中，GE=GF+EF=x+2，CE=4，CG=x，
∵CG²+CE²=GE²，
∴x²+4²=（x+2）²，解得x=3，
∴BG=3，
∴CG=BC-BG=3，
∴BG=CG，所以②正確；
∵GF=CG=3，
∴∠GFC=∠GCF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠BGF=2∠GCF，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠BGA=∠FGA，
∴∠BGF=2∠BGA，
∴∠BGA=∠GCF，
∴AG∥CF，所以③正確；
∵△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，
∴∠DAE=∠FAE，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠BAG=∠FAG，
∴∠EAF+∠GAF=

1

2

（∠DAF+∠BAF）=

1

2

×90°=45°，
即∠GAE=45°，所以④正確；
作FH⊥GC于H，如圖，
∴FH∥EC，
∴△GFH∽△GEC，
∴

FH

EC

=

GF

GE

，即

FH

4

=

3

5

，解得FH=

12

5

，
∴S_△GCF=

1

2

×3×

12

5

=3.6，所以⑤正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等和相似的判定與性質(zhì)、平行線的判定和勾股定理．