Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）．

（1）當(dāng)b＝1，c＝﹣4時，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M（t﹣1，5），N（t+1，5）在該二次函數(shù)的圖象上，請直接寫出t的取值范圍；

（3）當(dāng)a＝1時，若該二次函數(shù)的圖象與直線y＝3x﹣1交于點(diǎn)P，Q，將此拋物線在直線PQ下方的部分圖象記為C，

①試判斷此拋物線的頂點(diǎn)是否一定在圖象C上？若是，請證明；若不是，請舉反例；

②已知點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為P′，若P′在圖象C上，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝5x2+x﹣4；（2）0＜t＜2；（3）①不是，反例見解析；②b＞4或b＜﹣2．

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)和b、c的值代入y＝ax2+bx+c中便可求得a的值，問題便可解決；

（2）由點(diǎn)M，N的坐標(biāo)推出該二次函數(shù)的對稱軸是直線x＝t，結(jié)合拋物線 （a＞0）開口向上推出點(diǎn)M，N分別落在點(diǎn)A（1，2）的左側(cè)和右側(cè)，由此可列出關(guān)于t的不等式組，解此不等式組即可；

（3）①如舉反例拋物線y＝x2+1與直線y＝3x﹣1，判斷它們有兩個交點(diǎn)（即聯(lián)立方程組有兩組不同的解），并求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)不在直線y＝3x﹣1之下便可；

②要使點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為P′在圖象C上，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點(diǎn)必在C上，則當(dāng)x＝﹣時，ax2+bx+c＜3x﹣1，得到一個關(guān)于a、b、c的不等式，把a＝1，A（1，2）代入y＝ax2+bx+c（a＞0）中，用b表示c，再把a＝1與c代入前面得到的關(guān)于a、b、c的不等式中，便可求得b的取值范圍．

解：（1）把點(diǎn)A（1，2）．b＝1，c＝﹣4代入二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0），

得：2＝a+1﹣4

∴a＝5，b＝1，c＝﹣4，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝5x2+x﹣4；

（2）∵點(diǎn)M（t﹣1，5），N（t+1，5）在該二次函數(shù)的圖象上，

∴該二次函數(shù)的對稱軸是直線x＝t，

∵拋物線 （a＞0）開口向上，A（1，2），M，N 在該二次函數(shù)圖象上，且5＞2，

∴由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)得，點(diǎn)M，N分別落在點(diǎn)A的左側(cè)和右側(cè)，

∴t﹣1＜1＜t+1，

∴t的取值范圍是0＜t＜2；

（3）①不是．反例如下：

若拋物線的解析式為y＝x2+1，則

把y＝3x﹣1代入上式，得x2+1＝3x﹣1，

整理得，x2﹣3x+2＝0，

∵△＝9﹣8＞0，

∴方程x2﹣3x+2＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

則拋物線y＝x2+1與直線y＝3x﹣1有兩個交點(diǎn)，

∵y＝x2+1的頂點(diǎn)為（0，1）

當(dāng)x＝0時，y＝3x﹣1＝﹣1＜1，

∴拋物線y＝x2+1的頂點(diǎn)在直線y＝3x﹣1的上方，

∴此拋物線的頂點(diǎn)不在圖象C上．

②∵點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為P′，且P′在圖象C上，

∴當(dāng)a＝1時，該二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象的頂點(diǎn)在直線y＝3x﹣1下方，

∴當(dāng)x＝﹣時，x2+bx+c＜3x﹣1，

即，

把A（1，2）代入y＝x2+bx+c中，得1+b+c＝2，故c＝1﹣b，

∴，

整理得b2﹣2b＞8，

∴（b﹣1）2＞9，

∴b﹣1＞3或b﹣1＜﹣3，

∴b＞4或b＜﹣2．