Question

如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點(diǎn)，將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E落在CB的延長線上點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．再將線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．

（1）求證：EF∥CG；

（2）求點(diǎn)C，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影部分的面積．

　

Answer 1

（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，

∵△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，

∴∠AFB+∠FAB=90°，

∵線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，

∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，

∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，

∴EC∥FG，

∵AF=EC，AF=FG，

∴EC=FG，

∴四邊形EFGC是平行四邊形，

∴EF∥CG；

（2）解：∵AD=2，E是AB的中點(diǎn)，

∴FE=BE=AB=×2=1，

∴AF===，

由平行四邊形的性質(zhì)，△FEC≌△CGF，

∴S_△FEC=S_△CGF，

∴S_陰影=S_扇形BAC+S_△ABF+S_△FGC﹣S_扇形FAG，

=+×2×1+×（1+2）×1﹣，

=﹣．