Question

某公司銷售一種新型產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備從國(guó)內(nèi)和國(guó)外兩種銷售方案中選擇一種進(jìn)行銷售．若只在國(guó)內(nèi)銷售，銷售價(jià)格y（元/件）與月銷量x（件）的函數(shù)關(guān)系式為y=-

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100

x+150，成本為20元/件，無(wú)論銷售多少，每月還需支出廣告費(fèi)62500元，設(shè)月利潤(rùn)為w_內(nèi)（元），（利潤(rùn)=銷售額-成本-廣告費(fèi)）．若只在國(guó)外銷售，銷售價(jià)格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數(shù)，10≤a≤40），當(dāng)月銷量為x（件）時(shí)，每月還需繳納

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x²元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤(rùn)為w_外（元），（利潤(rùn)=銷售額-成本-附加費(fèi)）．
（1）分別求出w_內(nèi)，w_外與x間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫x的取值范圍）；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，在國(guó)內(nèi)銷售的月利潤(rùn)最大？若在國(guó)外銷售月利潤(rùn)的最大值與在國(guó)內(nèi)銷售月利潤(rùn)的最大值相同，求a的值；
（3）如果某月要將5000件產(chǎn)品全部銷售完，請(qǐng)你通過(guò)分析幫公司決策，選擇在國(guó)內(nèi)還是在國(guó)外銷售才能使所獲月利潤(rùn)較大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“利潤(rùn)=銷售額-成本-廣告費(fèi)”可求出w_內(nèi)與x間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)“利潤(rùn)=銷售額-成本-附加費(fèi)”可求出w_外與x間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求出w_內(nèi)取最大值時(shí)x的值，再根據(jù)w_外的最大值等于w_內(nèi)的最大值，列出關(guān)于a的方程，解方程即可求出a的值；
（3）先分別求出當(dāng)x=5000時(shí)，w_內(nèi)與w_外的值，再分w_內(nèi)＜w_外，w_內(nèi)=w_外，w_內(nèi)＞w_外這三種情況進(jìn)行討論，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）w_內(nèi)=x（y-20）-62500=x（-

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100

x+150-20）-62500=-

1

100

x²+130x-62500，
即w_內(nèi)=-

1

100

x²+130x-62500，
w_外=x（150-a）-

1

100

x²=-

1

100

x²+（150-a）x，
即w_外=-

1

100

x²+（150-a）x；

（2）∵w_內(nèi)=-

1

100

x²+130x-62500，
∴當(dāng)x=-

130

2×(- 1 100 )

=6500時(shí)，w_內(nèi)最大；
∵在國(guó)外銷售月利潤(rùn)的最大值與在國(guó)內(nèi)銷售月利潤(rùn)的最大值相同，
∴

0-(150-a)2

4×(- 1 100 )

=

4×(- 1 100 )×(-62500)-1302

4×(- 1 100 )

，
整理，得（150-a）²=14400，
解得a₁=30，a₂=270（不合題意，舍去）．
∴a=30．

（3）當(dāng)x=5000時(shí)，w_內(nèi)=-

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100

×5000²+130×5000-62500=337500，
w_外=-

1

100

×5000²+（150-a）×5000=-5000a+500000．
若w_內(nèi)＜w_外，即當(dāng)a＜32.5時(shí)，在國(guó)外銷售才能使所獲月利潤(rùn)較大；
若w_內(nèi)=w_外，即當(dāng)a=32.5時(shí)，在國(guó)內(nèi)、外銷售所獲月利潤(rùn)一樣大；
w_內(nèi)＞w_外，即當(dāng)a＞32.5時(shí)，在國(guó)內(nèi)銷售才能使所獲月利潤(rùn)較大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，難度適中，根據(jù)利潤(rùn)的關(guān)系式分別寫出w_內(nèi)，w_外與x間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．