Question

如圖，等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)B（4，2），D（-1，0），且一次函數(shù)y=kx-1的圖象平分等腰梯形ABCD的面積。

（1）求等腰梯形ABCD的中位線長(zhǎng)及一次函數(shù)y=kx-1中k的值．
（2）若關(guān)于x的函數(shù)y=mx²-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的值．

Answer 1

（1）k=1，（2）m=0或1/2或-1解析:
解：過B作BE⊥AD于E，連結(jié)OB、CE交于點(diǎn)P，

（1）由圖可知P為矩形OCBE的對(duì)稱中心，則過P點(diǎn)的直線平分矩形OCBE的面積.
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）             --------2分
∵OC＝BE，AB＝CD
∴Rt△ODC≌Rt△EAB（HL）, 可得AD=6，中位線長(zhǎng)=5------4分
∴兩個(gè)三角形面積相等
∵一次函數(shù)y=kx-1的圖象平分它的面積，點(diǎn)（0，-1）與P（2，1）經(jīng)過直線
代入得：2k-1="1" ∴k=1               -------6分
（2）∵y=mx²-(3m+k)x+2m+k的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)
分情況討論：①   當(dāng)m＝0時(shí)，y＝-x+1,其圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)
分別是：（0，1），（1，0）          --------8分
②當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)為拋物線，且與y軸總有一個(gè)交點(diǎn)（0，2m+1）
若拋物線過原點(diǎn)時(shí)，2m+1=0，即m= -1/2，-----10分
此時(shí)△＝(m+1)²=＞0
∴符合題意此時(shí)△＝（3m+1）²-4m（2m+1）="0"
解得：m₁=m₂= -1                  ---------12分
綜述m的值為m=0或1/2或-1
此題為綜合性題，考查了全等三角形，一次函數(shù)，二次函數(shù)