Question

17．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)M，N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，分別沿CA、CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度都為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度都為2cm/s，連接PM，PN，設(shè)時(shí)間為t（s）（0＜t＜2.5），解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
（2）設(shè)四邊形APNC的面積為y（m²），求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使y有最小值？若存在，求y的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求得AB=5cm，分類討論：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求t的值；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，構(gòu)造平行線PH∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；然后根據(jù)“y=S_△ABC-S_△BPH”列出y與t的關(guān)系式y(tǒng)=$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{5}$（0＜t＜2.5）；
（3）利用（2）的結(jié)論，由二次函數(shù)最值的求法即可得到y(tǒng)的最小值．

解答 解：（1）∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴根據(jù)勾股定理，得$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=5cm，
以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，分兩種情況：
①當(dāng)△AMP∽△ABC時(shí)，$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{5-2t}{4}$=$\frac{4-t}{5}$，
解得t=$\frac{3}{2}$；
②當(dāng)△APM∽△ABC時(shí)，$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{4-t}{4}$=$\frac{5-2t}{5}$，
解得t=0（不合題意，舍去）；
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H．則PH∥AC，
∴$\frac{PH}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{PH}{4}$=$\frac{2t}{5}$，
∴PH=$\frac{8}{5}t$，
∴y=S_△ABC-S_△BPN，
=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×（3-t）•$\frac{8}{5}$t，
=$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{5}$，（0＜t＜2.5）；

（3）存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積y有最小值．理由如下：
由（2）知y═$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{5}$（0＜t＜2.5），
∵$\frac{4}{5}$＞0，
∴y有最小值．
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，y_最小值=$\frac{21}{5}$．
答：當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，四邊形APNC的面積y有最小值，其最小值是$\frac{21}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例，二次函數(shù)最值的求法以及三角形面積公式，解答（1）題時(shí)，一定要分類討論，以防漏解，另外，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解題時(shí)，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊是解答此題的關(guān)鍵．