Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)A從原點(diǎn)O出發(fā)沿y軸正半軸以每秒1單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的圖象于B，交函數(shù)y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的圖象于C，作射線BO，點(diǎn)D是射線BO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)t=$\sqrt{3}$時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)∠BCD=90°時(shí)，求△BCD的面積．
（3）t為何值時(shí)，△BCD為等腰直角三角形？并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)縱坐標(biāo)求得B、C的橫坐標(biāo)即可求得；
（2）設(shè)A的縱坐標(biāo)為m，則B（-$\frac{2}{m}$，m），C（$\frac{6}{m}$，m），證得△EOB∽△FOD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出DF=3m，進(jìn)一步求得CD=4m，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得；
（3）分兩種情況分別討論求得即可．

解答 解：（1）當(dāng)t=$\sqrt{3}$時(shí)，B、C的縱坐標(biāo)為$\sqrt{3}$，
代入y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）得$\sqrt{3}$=-$\frac{2}{x}$，
解得x=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
代入y=$\frac{6}{x}$（x＞0）得，$\sqrt{3}$=$\frac{6}{x}$，
解得x=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$；
（2）過B作BE⊥x軸于E，如圖1，
∵BC∥x軸，
∴CD⊥x軸，B、C的縱坐標(biāo)相同，設(shè)A的縱坐標(biāo)為m，則B（-$\frac{2}{m}$，m），C（$\frac{6}{m}$，m），
∴BE=m，OE=$\frac{2}{m}$，OF=$\frac{6}{m}$，
∵∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠FOD，
∴△EOB∽△FOD，
∴$\frac{DF}{BE}$=$\frac{OF}{OE}$，即$\frac{DF}{m}$=$\frac{\frac{6}{m}}{\frac{2}{m}}$，
∴DF=3m，
∴CD=4m，
∵BC=$\frac{6}{m}$+$\frac{2}{m}$=$\frac{8}{m}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{m}$×4m=16；
（3）∵CD=4m，BC=$\frac{8}{m}$，
①如圖1，當(dāng)CD=BC時(shí)，則4m=$\frac{8}{m}$，
解得m=$\sqrt{2}$，
∴A的縱坐標(biāo)為$\sqrt{2}$，
∴t=$\sqrt{2}$，
∴D（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$）
②如圖2，當(dāng)CD=BD時(shí)，∵B（-$\frac{2}{m}$，m），C（$\frac{6}{m}$，m），
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{2}{m}$，
設(shè)直線OB的解析式為y=kx，
∴m=-$\frac{2}{m}$k，解得k=-$\frac{{m}^{2}}{2}$，
∴直線OB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$m²x，
把x=$\frac{2}{m}$代入得y=-$\frac{1}{2}$m²×$\frac{4}{{m}^{2}}$=2，
∵OM=OE=$\frac{2}{m}$，
∴BE=DM=2，
∴A的縱坐標(biāo)為2，D（1，-2）
∴t=2，
綜上，t為$\sqrt{2}$和2時(shí)，△BCD為等腰直角三角形，此時(shí)D的坐標(biāo)為（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$）或（1，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形判定和性質(zhì)等，注意分類討論思想的運(yùn)用．