Question

如圖，已知△OAB的頂點(diǎn)A（3，0），B（0，1），O是坐標(biāo)原點(diǎn)．將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ODC．
（1）寫出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過C，D，A三點(diǎn)的拋物線的解析式，并求此拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在對稱軸上找一點(diǎn)P，使得PB+PD最小，求出最小值和P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得OC=OB，OD=OA，進(jìn)而可得CD兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出解析式，并將A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得方程組，解可得解析式，進(jìn)而可得M的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)D作關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)D′，連接BD′，BD′與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P；利用兩點(diǎn)間的距離公式求得該線段的最小值．

解答：解：（1）如圖，∵A（3，0），B（0，1），
∴OA=3，OB=1．
又∵將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ODC，
∴OD=OA=3，OC=OB=1，
∴C（-1，0），D（0，3）；

（2）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）
∵A，C，D在拋物線上
∴

c=3   a-b+c=0 9a+3b+c=0

解得a=-1，b=2，c=3
即y=-x²+2x+3
又y=-（x-1）²+4
∴M（1，4）；

（3）如圖，點(diǎn)D關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)是D′，連接BD′交拋物線對稱軸于點(diǎn)P．
∵由（1）知D（0，3）、B（0，1），由（2）知，M（1，4）．
∴對稱軸是x=1，D′（2，4），
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（

2+0

2

，

4+1

2

），即P（1，

5

2

）．
根據(jù)對稱性得到：PB+PD=PB+PD′=BD′=

(2-0)2+(4-1)2

=

13

．
綜上所述，PB+PD最小值是

13

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，

5

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，綜合性較強(qiáng)，難度不大．運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是中考的�？键c(diǎn)，需熟練掌握，解題時(shí)根據(jù)條件設(shè)出適當(dāng)?shù)慕馕鍪剑�能使�?jì)算簡便．