Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑作⊙O，交AB于點D，取AC的中點E，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若tanB=$\frac{4}{3}$，DE=5，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）連接CD和OD，根據(jù)圓周角定理得出∠CDB=90°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出DE=CE=AE，求出∠ACD+∠DCO=∠EDC+∠CDO，求出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）求出AC=10，解直角三角形求出BC，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x，即可求出答案．

解答 證明：（1）
連接CD和OD，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠CDB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵E為AC的中點，
∴DE=CE=AE，
∴∠ACD=∠EDC，
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠CDO，
∴∠ACD+∠DCO=∠EDC+∠CDO，
∴∠ACB=∠EDO=90°，
即OD⊥DE，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵DE=5，
∴AC=AE+CE=2DE=10，
∵tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴BC=$\frac{15}{2}$，
在Rt△CDB中，tanB=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)CD=4x，BD=3x，
則由勾股定理得：BC²=CD²+BD²，
即（4x）²+（3x）²=（$\frac{15}{2}$）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
BD=3x=$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了直角三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運用知識點進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強．