Question

已知拋物線y=-x²+2mx-m²+1與x軸交點為A、B（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C．
（1）試用含m的代數(shù)式表示A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點B在原點的右側(cè)，點C在原點的下方時，若△BOC是等腰三角形，求拋物線的解析式；
（3）已知一次函數(shù)y=kx+b，點P（n，0）是x軸上一個動點，在（2）的條件下，過點P作垂直于x軸的直線交這個一次函數(shù)的圖象于點M，交拋物線y=-x²+2mx-m²+1于點N，若只有當(dāng)1＜n＜4時，點M位于點N的下方，求這個一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令y=0，則求得兩根，又由點A在點B左側(cè)，所以求得點A、B的坐標(biāo)；
（2）二次函數(shù)的圖象與y軸交于點C，即求得點C，由△BOC是等腰三角形，從而求得；
（3）由m值代入求得二次函數(shù)式，并能求得交點坐標(biāo)，則代入一次函數(shù)式即求得．

解答：解：（1）∵點A、B是二次函數(shù)y=-x²+2mx-m²+1的圖象與x軸的交點，
∴令y=0，-x²+2mx-m²+1=0
解得x₁=m+1，x₂=m-1
又∵點A在點B左側(cè)，
∴點A的坐標(biāo)為（m-1，0），B（m+1，0）；

（2）由（1）可知點B的坐標(biāo)為B（m+1，0）；
∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于點C
∴點C的坐標(biāo)為（0，-m²+1）
∵△BOC是等腰三角形，點B在原點的右側(cè)，點C在原點的下方，
∴OB=m+1，OC=m²-1，
∴m+1=m²-1，
∴m=-1或2，
∵點B在原點的右側(cè)，點C在原點的下方，
∴m=2，
∴解析式為：y=-x²+4x-3；

（3）由（2）得，二次函數(shù)解析式為y₁=-x²+4x-3，
∵1＜n＜4時，點M位于點N的下方，
∴當(dāng)1＜n＜4時，y₁＞y₂，
即一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)分別為1和4，
由此可得交點坐標(biāo)為（1，0）和（4，-3）
將交點坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b中，
得

k+b=0 4k+b=-3

，
解得：

k=-1 b=1

，
∴一次函數(shù)解析式為y=-x+1．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，（1）令y=0則求得兩根，由AB位置確定即求得；（2）二次函數(shù)的圖象與y軸交于點C，再由等腰三角形的性質(zhì)而求得．（3）由m值代入求得二次函數(shù)式，求得交點坐標(biāo)，則代入一次函數(shù)式即求得．本題比較模糊，按照一般計算，代入即求得．