Question

已知拋物線y=-x²+2mx-m²+1與x軸交點(diǎn)為A、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）試用含m的代數(shù)式表示A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時(shí)，若△BOC是等腰三角形，求拋物線的解析式；
（3）已知一次函數(shù)y=kx+b，點(diǎn)P（n，0）是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交這個(gè)一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，交拋物線y=-x²+2mx-m²+1于點(diǎn)N，若只有當(dāng)1＜n＜4時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令y=0，則求得兩根，又由點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，所以求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，即求得點(diǎn)C，由△BOC是等腰三角形，從而求得；
（3）由m值代入求得二次函數(shù)式，并能求得交點(diǎn)坐標(biāo)，則代入一次函數(shù)式即求得．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A、B是二次函數(shù)y=-x²+2mx-m²+1的圖象與x軸的交點(diǎn)，
∴令y=0，-x²+2mx-m²+1=0
解得x₁=m+1，x₂=m-1
又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m-1，0），B（m+1，0）；

（2）由（1）可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（m+1，0）；
∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-m²+1）
∵△BOC是等腰三角形，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方，
∴OB=m+1，OC=m²-1，
∴m+1=m²-1，
∴m=-1或2，
∵點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方，
∴m=2，
∴解析式為：y=-x²+4x-3；

（3）由（2）得，二次函數(shù)解析式為y₁=-x²+4x-3，
∵1＜n＜4時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方，
∴當(dāng)1＜n＜4時(shí)，y₁＞y₂，
即一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和4，
由此可得交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）和（4，-3）
將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b中，
得

k+b=0 4k+b=-3

，
解得：

k=-1 b=1

，
∴一次函數(shù)解析式為y=-x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，（1）令y=0則求得兩根，由AB位置確定即求得；（2）二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，再由等腰三角形的性質(zhì)而求得．（3）由m值代入求得二次函數(shù)式，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，則代入一次函數(shù)式即求得．本題比較模糊，按照一般計(jì)算，代入即求得．