Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D、T是圓上的兩點(diǎn)，且AT平分∠BAD，過點(diǎn)T作AD延長線的垂線PQ，垂足為C．
（1）求證：PQ是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，AT=2

3

，求AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）要證明PQ是⊙O的切線只要證明OT⊥PQ即可；
（2）由已知可求得OM的長，從而利用勾股定理求得AD的長．

解答：（1）證明：連接OT；
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC，
∴OT∥AC；
∵AC⊥PQ，
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BTA=90°，
∵⊙O的半徑為2，AT=2

3

，
∴BT=2，
∴∠BAT=∠TAC=30°，
∴TC=

3

，
過點(diǎn)O作OM⊥AC于M，則AM=MD；
又∵∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四邊形OTCM為矩形，
∴OM=TC=

3

，
∴在Rt△AOM中，
AM=

OA2-OM2

=

4-3

=1，
∴AC=AM+OT=1+2=3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．