Question

在△ABC中，已知兩邊a=3，b=4，第三邊為c．若關于x的方程x²+（c-4）x+

1

4

=0有兩個相等的實數(shù)根，
則該三角形的面積是

 

．

Answer 1

考點：勾股定理的逆定理,根的判別式

專題：

分析：根據(jù)根的判別式求出c的值，分為兩種情況，一個是直角三角形，一個是等腰三角形，根據(jù)面積公式求出即可．

解答：解：∵關于x的方程x²+（c-4）x+

1

4

=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=（c-4）²-4×1×

1

4

=0，
解得：c=5或3，
當c=5時，∵a=3，b=4，
∴a²+b²=c²，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面積是

1

2

×3×4=6；
當c=3時，如圖，
，
AB=BC=3，過B作BD⊥AC于D，
則AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD=

32-22

=

5

，
∴△ABC的面積是

1

2

×4×

5

=2

(    )

5，；
故答案為：6或2

5

．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面積，等腰三角形性質的應用，關鍵是求出三角形ABC的高，題目比較好，用了分類討論思想．