Question

10．如圖，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=4，AB=10，點P射線BD上一動點，以CP為直徑作⊙O，點P運動時．若⊙O與線段AB有公共點，則BP最大值為$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 當AB與⊙O相切時，PB的值最大，作輔助線構建直角三角形，先證明四邊形ABFC是矩形，得CF=AB=10，設PB=x，在Rt△CFP中，根據(jù)勾股定理列方程求出x即可．

解答 解：當AB與⊙O相切時，PB的值最大，如圖，
設AB與⊙O相切于點E，連接OE，則OE⊥AB，
過C作CF⊥PB于F，
∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴AC∥OE∥PB，
∴四邊形ABFC是矩形，
∴CF=AB=10，
∵CO=OP，
∴AE=BE，
∴OE是梯形ABPC的中位線，
∴OE=$\frac{1}{2}$（AC+PB），
設PB=x，則OE=$\frac{1}{2}$（4+x），
∴PC=2OE=4+x，PF=x-4，
由勾股定理得：10²+（x-4）²=（4+x）²，
解得：x=$\frac{25}{4}$，
∴BP最大值為$\frac{25}{4}$；
故答案為：$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查了直線和圓的位置關系，直線與圓有三種位置關系：①直線l和⊙O相交?d＜r，②直線l和⊙O相切?d=r，③直線l和⊙O相離?d＞r；相切是�？贾�識點，要熟練掌握；本題是求線段的最值問題，要先找出最值時動點所在的位置或圓與直線的特殊關系，根據(jù)這個位置關系求出最大值．