Question

在矩形OABC中，OA=8，OC=6，以矩形OABC的兩邊OA和OC所在直線為坐標軸建立直角坐標系，點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上．拋物線y=-

1

6

x²+bx+c經(jīng)過B，C兩點．
（1）求b，c的值；
（2）如圖1，若點M（x，y）是第一象限中拋物線y=-

1

6

x²+bx+c上一點，連接AM，MC，設四邊形OAMC的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式，并回答：x為何值時S取得最大值？
（3）如圖2，動點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→C運動，到達點C時停止．問：能否在拋物線y=-

1

6

x²+bx+c上找到點D，使得以P，D，C為頂點的三角形是等腰直角三角形？如果能，請求出D點坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)得B（8，6），C（0，6），代入y=-

1

6

x²+bx+c中，列方程組求b、c的值；
（2）過M點作MN⊥x軸，垂足為N，將四邊形OAMC的面積分為直角梯形和三角形的面積求解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求S的最大值；
（3）能．分為P在AB上，P在CD上，兩種情況，以CP為等腰直角三角形的直角邊或斜邊，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求滿足條件的D點坐標．

解答：解：（1）依題意，得B（8，6），C（0，6），
代入y=-

1

6

x²+bx+c中，得

- 64 6 +8b+c=6 c=6

，
解得b=

4

3

，c=6；（4分）

（2）過M點作MN⊥x軸，垂足為N，由（1）可知M（x，-

1

6

x²+

4

3

x+6），
∴s=S_梯形CMNO+S_△AMN=

1

2

（6-

1

6

x²+

4

3

x+6）•x+

1

2

（-

1

6

x²+

4

3

x+6）•（8-x）=-

2

3

x²+

25

3

x+12，（3分）
當x=

25

4

時s取得最大值．（1分）

（3）如圖，又△CPD為等腰直角三角形，
當P點在AB上時，若CP為斜邊，
則D₁（6，8），若CP為直角邊，則D₂ （-4，-2），
當P點在BC上時，若CP為直角邊或斜邊時，D₃ （2，8）．
即D₁（6，8）或D₂ （-4，-2）或D₃ （2，8）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，用解析式表示M點縱坐標，利用點的坐標表示圖形的面積，形數(shù)結合求解．