Question

（2012•莆田）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓O上，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使得CD=BC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，連接CG、OF、FB．
（1）求證：CG是⊙O的切線；
（2）若△AFB的面積是△DCG的面積的2倍，求證：OF∥BC．

Answer 1

分析：（1）連接OC．欲證CG是⊙O的切線，只需證明∠CGO=90°，即CG⊥OC；
（2）根據(jù)直角三角形ABC、直角三角形DCF的面積公式，以及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求得AC=2AF；然后根據(jù)三角形中位線的判定與定理證得該結(jié)論．

解答：證明：（1）如圖，連接OC．
在△ABC中，∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；
又∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO（等邊對(duì)等角）；
在Rt△DCF中，∵點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，∴CG=GF（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半），
∴∠GCF=∠CFG（等邊對(duì)等角）；
∵DE⊥AB（已知），∠CFG=∠AFE（對(duì)頂角相等）；
∴在Rt△AEF中，∠A+∠AFE=90°；
∴∠ACO+∠GCF=90°，即∠GCO=90°，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），即AC⊥BD；
又∵CD=BC，點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，
∴S_△AFB=S_△ABC-S_△BCF=

1

2

（AC•BC-CF•BC），S_△DCG=

1

2

S_△FCD=

1

2

×

1

2

DC•CF=

1

4

BC•CF；
∵△AFB的面積是△DCG的面積的2倍，
∴

1

2

（AC•BC-CF•BC）=2×

1

4

BC•CF，
∴AC=2CF，即點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)；
∵O點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF∥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、圓周角定理．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．