Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)O（0，0），A（2，0），點(diǎn)B在第一象限且△OAB為正三角形，△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的圓的切線交x軸于點(diǎn)D．
（1）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求直線CD的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)E，F(xiàn)分別是線段AB，AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF平分四邊形ABCD的周長(zhǎng)．試探究：△AEF的最大面積．

Answer 1

分析：（1）作BG⊥OA于G，連接AC．利用等邊三角形的性質(zhì)可知：OG=1，BG=

3

，所以B（1，

3

）．根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)值可計(jì)算得OC=OAtan30°=

2 3

3

．所以C（0，

2 3

3

）．
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)求得OD=OCtan30°=

2

3

．即D(-

2

3

，0)，結(jié)合點(diǎn)C（0，

2 3

3

），利用待定系數(shù)法求得直線CD的函數(shù)解析式為y=

3

x+

2 3

3

．
（3）先求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)6+

2 3

3

．設(shè)AE=t，△AEF的面積為S，根據(jù)題意用含t的代數(shù)式表示S，即可得到關(guān)于S，t的二次函數(shù)，S=

3

4

t（3+

3

3

-t），結(jié)合自變量t的取值范圍

1+ 3

3

≤t≤2，可求得△AEF的最大面積為

7 3

12

+

3

8

．

解答：解：（1）∵A（2，0），∴OA=2．
作BG⊥OA于G，∵△OAB為正三角形，∴OG=1，BG=

3

．∴B（1，

3

）．
連AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°，∴OC=OAtan30°=

2 3

3

．
∴C（0，

2 3

3

）．

（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圓的直徑，
又∵CD是圓的切線，∴CD⊥AC．∴∠OCD=30°，OD=OCtan30°=

2

3

．
∴D(-

2

3

，0)．
設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），
則

b= 2 3 3 0=- 2 3 k+b

，解得

k= 3 b= 2 3 3

．
∴直線CD的函數(shù)解析式為y=

3

x+

2 3

3

．

（3）∵AB=OA=2，OD=

2

3

，CD=2OD=

4

3

，BC=OC=

2 3

3

，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)6+

2 3

3

．
設(shè)AE=t，△AEF的面積為S，
則AF=3+

3

3

-t，S=

1

2

AF•AEsin60°=

3

4

t(3+

3

3

-t)．
∵S=

3

4

t(3+

3

3

-t)=

3

4

[-(t-

9+ 3

6

)2+

7

3

+

3

2

]．
∴當(dāng)t=

9+ 3

6

時(shí)，Smax=

7 3

12

+

3

8

．
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，
∴

0≤t≤2 0≤3+ 3 3 -t≤2+ 2 3

，解得

1+ 3

3

≤t≤2．
∵t=

9+ 3

6

滿足

1+ 3

3

≤t≤2，
∴△AEF的最大面積為

7 3

12

+

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．