Question

已知，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，D為AB上任意一點，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，求證：EF=|AE-BF|．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質得出∠CAE=∠BCF，又因為AC=BC，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延長線于F，根據(jù)AAS證明△ACE≌△CBF，根據(jù)全等三角形的性質與等量關系即可得出結論

解答：證明：∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，（直角三角形兩個銳角互余）
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF，（等角的余角相等）
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
在△ACE與△CBF中，

∠AEC=∠BFC ∠CAE=∠BCF AC=BC

∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，CE=BF，
∴EF=CE-CF=BF-AE，
當AE＞BF時，如圖，

同法可求EF=AE-BF，
即EF=|AE-BF|．

點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定和性質的應用，主要考查學生的推理能力，題目比較好，難度適中．