Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，四邊形ABDE是平行四邊形，AC、DE相交于點O．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形．
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE對角線的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AB=DE，
又∵AB=AC，
∴DE=AC．
∵AB=AC，D為BC中點，
∴∠ADC=90°，
又∵D為BC中點，
∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四邊形AECD是平行四邊形，
又∴∠ADC=90°，
∴四邊形ADCE是矩形．

（2）解：∵四邊形ADCE是矩形，
∴AO=EO，
∴△AOE為等邊三角形，
∴AO=4，
故AC=8．
分析：（1）根據(jù)四邊形ABDE是平行四邊形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四邊形ADCE是矩形．
（2）根據(jù)∠AOE=60°和矩形的對角線相等且互相平分，得出△AOE為等邊三角形，即可求出AO的長，從而得到矩形ADCE對角線的長．
點評：（1）考查了矩形的判定，（2）考查了矩形的性質(zhì)，二者相結(jié)合是常見的出題方式，要注意靈活運用等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理．