Question

如圖所示，電工李師傅借助梯子安裝天花板上距地面2.90m的頂燈．已知梯子由兩個相同的矩形面組成，每個矩形面的長都被六條踏板七等分，使用時梯腳的固定跨度為1m．矩形面與地面所成的角α為78°．李師傅的身高為l.78m，當(dāng)他攀升到頭頂距天花板0.05～0.20m時，安裝起來比較方便．
（1）求每條踏板間的垂直高度．
（2）請問他站立在梯子的第幾級踏板上安裝比較方便？，請你通過計算判斷說明．
（參考數(shù)據(jù)：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用

專題：

分析：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出CE=

1

2

AC=0.5，然后在Rt△AEC中根據(jù)正切函數(shù)的定義求出AE=EC•tan78°≈2.35，則
每條踏板間的垂直高度為：2.35÷7=

47

140

m；
（2）設(shè)他站立在梯子的第n級踏板上安裝比較方便，此時他的頭頂距天花板hm，先用含n的代數(shù)式表示h，于是h=2.9-1.78-

47

140

n=1.12-

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n，再根據(jù)0.05≤h≤0.2，得到0.05≤1.12-

47

140

n≤0.2，解不等式組求出2.74≤n≤3.19，進(jìn)而得到整數(shù)n的值．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．
∵AB=AC，AE⊥BC于點(diǎn)E，
∴CE=

1

2

AC=0.5．
在Rt△AEC中，∵tan78°=

AE

EC

，
∴AE=EC•tan78°≈0.5×4.70=2.35，
∴每條踏板間的垂直高度為：2.35÷7=

47

140

（m）；

（2）設(shè)他站立在梯子的第n級踏板上安裝比較方便，此時他的頭頂距天花板hm．
由題意，得h=2.9-1.78-

47

140

n=1.12-

47

140

n，
∵0.05≤h≤0.2，
∴0.05≤1.12-

47

140

n≤0.2，
解得2.74≤n≤3.19，
∵n為整數(shù)，
∴n=3．
答：他站立在梯子的第3級踏板上安裝比較方便．

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．要求學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題，在正確分析題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．