Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD＜BC，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，AC=BD，∠ACB=∠DBC．
（1）求證：四邊形ABCD為等腰梯形．
（2）若E為AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)DC至F，使CF=BE，連接EF交BC于G，請(qǐng)判斷G點(diǎn)是否為EF中點(diǎn)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∵AC=BD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA=∠OBC+∠OCB，
∴2∠OAD=2∠OCB，
∴∠OAD=∠OCB，
∴AD∥BC
∵AD＜BC，
∴四邊形ABCD為梯形．
在△ABC和△DCB中：AC=BD，∠ACB=∠DBC，CB=BC．
∴△ABC≌△DCB，
∴AB=CD，
∴四邊形ABCD為等腰梯形．

（2）解：點(diǎn)G是EF中點(diǎn)．理由：
過(guò)E作EH∥CD交BC于H．
∴∠EHB=∠DCB，∠EHG=∠GCF，
∵梯形ABCD為等腰梯形，
∴∠EBH=∠DCB，
∴∠EBH=∠EHB，
∴EB=EH，
∵EB=CF，
∴EH=CF，
在△EHG和△FGC中：∠EHG=∠FCG，∠EGH=∠FGC，EH=CF，
∴△EHG≌△FGC，
∴EG=FG即G為EF中點(diǎn)．
注（2）問(wèn)也可過(guò)F作FM∥AB交BC延長(zhǎng)線于M，證△BEG≌△FMG也可．
分析：（1）根據(jù)等角對(duì)等邊可證明OB=OC，還可得出∠OAD=∠OCB，則AD∥BC，從而得出四邊形ABCD為等腰梯形．
（2）過(guò)E作EH∥CD交BC于H．由梯形ABCD為等腰梯形，得∠EBH=∠DCB，則EB=EH，所以△EHG≌△FGC，即EG=FG（G為EF中點(diǎn)）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)，是一道綜合題，難度較大．