Question

如圖（a），兩個(gè)不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點(diǎn)O．
（1）將圖（a）中的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角，在圖（b）中作出旋轉(zhuǎn)后的△OAB（保留作圖痕跡，不寫作法，不證明）；
（2）在圖（b）中，試探究線段AC與線段BD的關(guān)系，并說明理由；
（3）將圖（a）中的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖（c），這時(shí)（2）中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)作出判斷并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角應(yīng)該在△COD的右邊；
（2）的結(jié)論容易得到，AC=BD，AC與BD相交成90°的角；
（3）結(jié)論仍然成立，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可以得到全等條件證明△COA≌△DOB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以證明結(jié)論仍然成立．

解答：解：（1）如圖（a）所示：△A′OB′即為所求的三角形；

（2）數(shù)量關(guān)系：AC=BD，位置關(guān)系：AC⊥BD．
如圖（b），連接AC、BD，延長(zhǎng)CA交BD于點(diǎn)F；
∵△AOC與△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠ACO=∠BDO，AC=BD．
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO=∠DAF
∴∠BDO+∠DAF=90°，
∴AF⊥DF，即AC⊥BD；

（3）結(jié)論仍然成立．
理由：如圖（c），延長(zhǎng)CA交DO于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)G．
∵△AOC與△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠ACO=∠BDO
∵∠ECO+∠CEO=90°，∠DEG=∠CEO
∴∠GDE+∠DEG=90°，
∴∠DGE=90°，
∴AC⊥BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化，學(xué)生要看清是順時(shí)針還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，然后畫出圖形，利用圖形的性質(zhì)通過證明三角形全等就可以解決問題．