Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，） ，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，

∠ABO=30°.

（1）求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在（1）中拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)C，使AC+OC的值最�。咳舸嬖�，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（1）中軸下方的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D，線(xiàn)段OD把△AOB分成兩個(gè)三角形．使其中一個(gè)三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3 ？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：                   

（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵∠ABO=30°，A的坐標(biāo)為（1，），

∴ BF=3 .

 ∵ OF=1 ,

∴ BO=2 .

∴ B(-2,0).

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax(x+2)，代入點(diǎn)A（1, ），得，

∴   …………………………………2分

（2）存在點(diǎn)C.

過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于x軸于點(diǎn)F，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x= - 1交x軸于點(diǎn)E.

當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段AB的交點(diǎn)時(shí)，AC+OC的值最小.

∵  △BCE∽△BAF,

∴ .

∴

∴C（，）…………………………………4分

（3）存在.

 如圖，連結(jié)AO，設(shè)p(x,y)，直線(xiàn)AB為y=kx+b,則

               ，

            ∴直線(xiàn)AB為，

 =  |OB||P|+|OB||D|=|P|+|D|

               =.

∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =-×2×∣x+∣=-x+.

∴==.  

 ∴x1=-  , x2=1(舍去).

∴p(-,-)  .

又∵S△BOD =x+,

∴ == .

∴x1=- ,    x2=-2.

P(-2,0)，不符合題意.

∴ 存在，點(diǎn)P坐標(biāo)是（-，-）. ……………

【解析】略